一、基本概念

　　所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。古希腊著名数学家丢番图曾在其著作《算术》中介绍过关于不定方程，所以不定方程又叫丢番图方程。

　　比如3x+2y=6，方程只有一个，但是未知数有两个，这就是不定方程。很明显，3x+2y=6的解不唯一，给出一个x就会相应地有一个y，x、y的取值可以有无数个。值得注意的是，我们这里介绍的不定方程，一般都会对其中的未知数进行条件限制，比如说上述不定方程中的x、y只能是自然数，这样我们可以根据限制的条件来求出不定方程的解。所以，解答这类方程，一定要找出题中明显或隐含的限制条件。具体地，我们根据例题来给大家讲解。

　　二、典型例题

　　【例1】设a，b均为正整数，且有等式11a+7b=132成立，则a的值为?( )

　　A. 6 B. 4

　　C. 3 D. 5

　　【名师解析】这是一道不定方程问题。题目中对于未知数a、b给了限制条件，要求均为正整数，那么我们采用代入排除的方法来求解不定方程。即代入选项中a的数值，看求出来的b的是不是正整数，如果是即为正确答案，如果不是则要排除。比如说代入选项A，a=6，那么11×6+7b=132，7b=66，b不是正整数，所以排除A。依次类推排除B和C，对于选项D，a=5，那么11×5+7b=132，7b=77，b=11，满足题意，故本题答案为D选项。

　　这个题我们是用代入排除法来求解的不定方程，这是在求解不定方程时的常用方法之一。对于这道题目，还可以利用数字特性来求解。132=11×12，则132是11的倍数，11a是11的倍数，那么7b一定是11的倍数，所以b=11，从而a=5，故本题答案为D选项。

　　【例2】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?( )

　　A.36 B.37

　　C.39 D.41

　　【名师解析】由于钢琴学员和拉丁舞学员是平均分配给各个老师的，所以设每个钢琴教师带领x个学生，每个拉丁舞教师带领y个学生，可以得到不定方程5x+6y=76。根据奇偶特性，76是偶数，6y是偶数(偶数乘以任何数都得到偶数)，那么5x一定是偶数，x一定是偶数。题目中说每位老师所带的学生数量都是质数，很多考生可能已经对于质数的概念忘得差不多了，在这里重新带着大家回顾一下。质数就是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数，比如2、3、5、7等。在质数数列中，仅有一个偶数，那就是2，所以x=2，代入方程可以求得y=11。学生人数减少后，每位老师带的学生数量不变，那么剩下的学员数为4x+3y，代入x和y，得4×2+3×11=41，故本题答案为D选项。

　　通过上面两道例题，希望各位考生能够掌握求解不定方程的几种方法，比如代入排除法和数字特性法。当然了，解不定方程的方法和技巧还有很多，希望各位考生能够多加练习，自己进行总结和归纳。如果有机会，我们会再次给大家讲解不定方程组的解题技巧和方法。