数量关系中的经济利润最值问题

　　在公务员考试中，经济利润作为一个常见的数量关系题型，主要考点包括以下三种：

　　1.基础公式类：这类题目通常直接给出成本、售价、产量等具体数值，要求计算利润或利润率等。解题时只需根据经济利润的基本公式进行计算即可。

　　2.分段计费类：这类题目中，成本或售价可能随着产量的增加而发生变化，形成分段计费的情况。解题时需要先找出分段点，然后分别计算各段的成本或收益，最后求和得到总利润。

　　3.最值优化类：这类题目要求在给定的条件下选择最优的生产方案或投资策略，以实现利润的最大化或最小化。解题时需要综合考虑成本、售价、产量、市场需求等多个因素，通过比较不同方案的经济效果来选出最优解。

　　其中，第三类考点最值问题，由于贴合生活实际，有较多的现实生活案例作为出题时的数学模型，备受出题者青睐。我们先来看一道真题:

　　【例1】某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4元出售，可卖出20万株。若苗木单价每提高0.4元，就会少卖10000株，问在最佳定价的情况下，该公司最大收入是多少万元?

　　A.60

　　B.80

　　C.90

　　D.100

　　【解析】这里的最大收入可以用苗木的单价×数量得到，即收入=单价×数量，但是比较难处理的点在于，题目限制要求单价和数量都是变化浮动的，因此不能通过常规的方程法等等求解。但是我们通过读题可知，无论是单价还是数量都与价格变动次数有关，因此我们可以：

　　第一步：假设价格变动次数为x次，则实际单价为(4+0.4x)元，实际销量为(20-x)万株，因此，最大收入y可以用y=(4+0.4x)(20-x)表示得到;

　　第二步：由于这里y关于x的函数表达式为二次函数，因此我们可以令y=0，则(4+0.4x)=0或者(20-x)=0，不难得到x可行的两个根分别为x=-10或者x=20;

　　第三步：我们取x为这两个根的平均数，即x=5时，y有最大值，此时y=6×15=90，因此答案选择C项。

　　这里我们运用的实际上是二次函数的技巧，y关于x的函数表达式是一个二次函数，该函数图像开口向下，我们令y等于0求出来的两个根分别是函数图像与x轴两个交点的横坐标，二者对应的平均数即为抛物线对称轴，此时x对应的y即为函数的最大值。

　　同样的方法，我们再看一道真题的运用。

　　【例2】某汽车座垫加工厂生产一种汽车座垫，每套成本是144元，售价是200元。一个经销商订购了120套这种汽车座垫，并提出：如果每套座垫的售价每降低2元，就多订购6套。按经销商的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是：

　　A.144

　　B.136

　　C.128

　　D.142

　　【解析】同样，这里我们可以假设价格变动次数为x次，最大利润=单利×销量，单利可以由200-2x-144得到，即56-2x，同时套数可以用120+6x表示，因此y可以表示为y=(56-2x)(120+6x)，令y=0两个根分别为x=28以及x=-20，所以当x为二者的平均数，即x=4的时候，y可以取得最大值。此时最大套数为120+4×6=144套。

　　此外，本题由于120+6x一定为6的倍数，因此也可以用倍数特性秒杀，选项当中有且仅有一个A选项是6的倍数。

　　这里用二次函数解决在经济利润中的最值问题是一个套路非常明显的，容易拿到分数的题型，各位同学可以多加练习和总结，希望对大家上岸答题有所帮助~

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